Índice del curso Geometría diferencial y Mecánica Francisco Javier Cervigon Ruckauer
Módulos
Módulo 0: Un poco de historia Vídeo presentación del curso y del Módulo 0
Vídeo: Un poco de historia
Cuestionario conocimientos previos
Módulo 1: Modelando sistemas mecánicos con variedades
Vídeo presentación del Módulo 1
Vídeo 1 del Módulo 1: Variedades Topológicas
Vídeo 2 del Módulo 1: Variedades diferenciables
Apuntes del Módulo 1
Cuestionario del Módulo 1
Tarea del Módulo 1
Módulo 2: Más ejemplos
Vídeo de presentación del Módulo 2
Vídeo 1 del Módulo 2: Método de construcción de variedades diferenciables
Vídeo 2 del Módulo 2: El ejemplo del cuerpo rígido
Apuntes del Módulo 2
Simulación de un atlas de la esfera
Cuestionario del Módulo 2
Tarea del Módulo 2
Módulo 3: Espacio de velocidades
Vídeo de presentación del Módulo 3
Vídeo 1 del Módulo 3: Espacio tangente a una variedad
Vídeo 2 del Módulo 3: Espacio tangente de algunos ejemplos
Apuntes del Módulo 3
Simulación de los espacios tangentes de la esfera en los puntos de la misma
Simulación de los espacios tangentes de la circunferencia en los puntos de la misma
Cuestionario del Módulo 3
Tarea del Módulo 3
Módulo 4: Campos de vectores y sistemas de ecuaciones diferenciales
Vídeo de presentación del Módulo 4
Vídeo 1 del Módulo 4: Campos de vectores
Vídeo 2 del Módulo 4: Curvas integrales
Apuntes del Módulo 4
Cuestionario del Módulo 4
Tarea de Módulo 4
Módulo 5: Sistemas Hamiltonianos
Vídeo presentación del Módulo 5
Vídeo1 del Módulo 5: Mecánica clásica
Vídeo 2 del Módulo 5: corchetes de Poisson y sistemas Hamiltonianos
Apuntes del Módulo 5
Cuestionario del Módulo 5
Tarea de Módulo 5
Tarea de Módulo 5: Sistemas Hamiltonianos. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En R3
se define el siguiente corchete:
{F,G}(x)=⟨∇F×∇G,x⟩
para F
y G
funciones diferenciables en R3
y x∈R3
, donde ∇
es el operador gradiente, ×
denota el producto vectorial en R3
y ⟨⋅,⋅⟩
es el producto escalar en R3
. Demostrar que {⋅,⋅}
es un corchete de Poisson.
Apuntes del Módulo 5: Sistemas Hamiltonianos. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este archivo encontrarás los apuntes teóricos con ejemplos ilustrativos acerca del Módulo 5. Te servirán de apoyo a los vídeos de este módulo.
Vídeo 2 del Módulo 5: corchetes de Poisson y sistemas Hamiltonianos. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este vídeo ofrecemos una descripción geométrica de la formulación hamiltoniana de la mecánica, describiendo ejemplos que ilustran los resultados.
Descargar documento: Presentacion-ModuloV-2.pdf
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Vídeo1 del Módulo 5: Mecánica clásica. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este vídeo hacemos una breve descripción de la mecánica clásica, empezando en la segunda ley de Newton y ofreciendo distintas formulaciones.
Descargar documento: Presentación-ModuloV-1.pdf
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Vídeo presentación del Módulo 5: Sistemas Hamiltonianos. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este vídeo presentamos los contenidos del Módulo 5.
Módulo 5: Sistemas Hamiltonianos. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este módulo, veremos cómo, usando las herramientas geométricas desarrolladas en los módulos anteriores, podemos dar una descripción intrínseca de las ecuaciones de Hamilton de un sistema mecánico.
Apuntes del Módulo 4: Campos de vectores y sistemas de ecuaciones diferenciales. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
Leer con atención estos apuntes y resolver las dudas después de oir los dos vídeos de este módulo. Es posible que en ellos encuentres las soluciones a las cuestiones que no te hayan quedado claras en los vídeos.
Descargar documento: Módulo IV - Campos de vectores y sistemas de ecuaciones diferenciales.pdf
Descargar documento: Módulo IV - Campos de vectores y sistemas de ecuaciones diferenciales.pdf
Vídeo 2 del Módulo 4: Curvas integrales. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
Después de haber introducido la noción de campo de vectores como el elemento intrínseco que corresponde con un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, definiremos el concepto de curva integral asociado a un campo de vectores como el objeto que codifica geométricamente la solución de un sistema diferencial de ese tipo.
Vídeo 1 del Módulo 4: Campos de vectores. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este primer vídeo introduciremos la noción de campo de vectores como un objeto que codifica globalmente, sin necesidad de recurrir a las coordenadas, un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Descargar documento: Presentación-Módulo IV-1.pdf
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Vídeo de presentación del Módulo 4: Campos de vectores y sistemas de ecuaciones diferenciales. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
El contenido de este módulo está relacionado con el estudio geométrico de la evolución de un sistema físico.
Módulo 4: Campos de vectores y sistemas de ecuaciones diferenciales. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este módulo, introduciremos la noción de campo de vectores y su relación con los sistemas de ecuaciones diferenciales. Estudiaremos algunas propiedades de los campos de vectores.
Simulación de los espacios tangentes de la circunferencia en los puntos de la misma. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este vídeo podrás encontrar una simulación de los espacios tangentes a una circunferencia en los puntos de la misma. Puedes observar que son las rectas perpendiculares al vector de posición en ese punto.
Simulación de los espacios tangentes de la esfera en los puntos de la misma. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este vídeo encontrarás una simulación de los espacios tangentes de una esfera en cada punto de la misma. Observa que son exactamente los planos perpendiculares al vector de posición en ese punto.
Apuntes del Módulo 3. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
Debes leer con atención estos apuntes y resolver las posibles dudas después de oir los dos vídeos. Es posible que en ellos encuentres las soluciones a las cuestiones que no te hayan quedado claras en los vídeos.
Descargar documento: Módulo III-Espacio de velocidades.pdf
Descargar documento: Módulo III-Espacio de velocidades.pdf
Vídeo 2 del Módulo 3: Espacio tangente de algunos ejemplos. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este vídeo describiremos los espacios tangentes de algunos ejemplos de variedades diferenciables.
Como material complementario te dejamos un fichero pdf con la presentación de este vídeo para que te ayude y te sirva de resumen de parte del módulo.
Descargar documento: Presentacion-Modulo III-2.pdf
Como material complementario te dejamos un fichero pdf con la presentación de este vídeo para que te ayude y te sirva de resumen de parte del módulo.
Descargar documento: Presentacion-Modulo III-2.pdf
Vídeo 1 del Módulo 3: Espacio tangente a una variedad. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este vídeo introduciremos la noción de espacio tangente en un punto y describiremos el espacio de velocidades como una variedad diferenciable.
Te añadimos el fichero pdf de la presentación para que te ayude a entender el vídeo. También te puede servir como resumen de una parte del módulo.
Te añadimos el fichero pdf de la presentación para que te ayude a entender el vídeo. También te puede servir como resumen de una parte del módulo.
Vídeo de presentación del Módulo 3. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
Este es un vídeo de presentación y motivación del Módulo 3 dedicado a describir el espacio de velocidades.
Módulo 3: Espacio de velocidades. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
Introducimos en este módulo el concepto de espacio tangente de una variedad, con el que se codificarán todas las posibles velocidades de un sistema mecánico en un cierto punto del espacio de configuración. Veremos que este espacio, que incluye conjuntamente velocidades y posiciones, es de nuevo una variedad diferenciable.
Simulación de un atlas de la esfera. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
Aqui verás un sistemas de cartas para la esfera. Cada una de ellas se puede transformar en una bola en el plano.
Vídeo 2 del Módulo 2: El ejemplo del cuerpo rígido. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
Para finalizar este módulo describiremos en este vídeo el espacio de configuración de las rotaciones de un cuerpo rígido con un punto fijo y probaremos que es una variedad diferenciable.
Descargar documento: Presentacion-ModuloII-2.pdf
Descargar documento: Presentacion-ModuloII-2.pdf
Vídeo 1 del Módulo 2: Método de construcción de variedades diferenciables. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este vídeo mostraremos un método para construir globalmente una variedad diferenciable, usando el teorema de la función implícita.
Descargar documento: Presentacion-ModuloII-1.pdf
Descargar documento: Presentacion-ModuloII-1.pdf
Vídeo de presentación del Módulo 2. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este módulo mostraremos un método, basado en el teorema de la función implícita, para obtener variedades diferenciables más complejas.
Como aplicación obtendremos que el conjunto de rotaciones en el espacio, es una variedad diferenciable. Este conjunto es el espacio de configuración para las rotaciones de un cuerpo rígido.
Como aplicación obtendremos que el conjunto de rotaciones en el espacio, es una variedad diferenciable. Este conjunto es el espacio de configuración para las rotaciones de un cuerpo rígido.
Módulo 2: Más ejemplos. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
Describiremos algunas maneras de generar nuevos ejemplos de variedades, ilustrando dichas construcciones con ejemplos explícitos. Analizamos el caso especial del espacio de configuración del cuerpo rígido.
Apuntes del Módulo 1. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este archivo encontrarás los apuntes teóricos con ejemplos ilustrativos acerca del Módulo 1. Te servirán de apoyo a los vídeos de este módulo.
Descargar documento: Módulo I-modelando sistemas con variedades.pdf
Descargar documento: Módulo I-modelando sistemas con variedades.pdf
Vídeo 2 del Módulo 1: Variedades diferenciables. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este segundo vídeo del Módulo I, introducimos a partir de la noción de variedad topológica explicada anteriormente el concepto de variedad diferenciable garantizando condiciones de diferenciabilidad en el cambio de coordenadas. Algunos ejemplos ilustrarán la teoría.
También dispondrás de la presentación en fichero pdf que te servirá de resumen de parte del contenido de Módulo.
Descargar documento: Presentacion-Modulo I-Video2.pdf
También dispondrás de la presentación en fichero pdf que te servirá de resumen de parte del contenido de Módulo.
Descargar documento: Presentacion-Modulo I-Video2.pdf
Vídeo 1 del Módulo 1: Variedades Topológicas. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este primer vídeo, motivamos la introducción de la noción de variedad diferenciable desde la necesidad de modelizar matemáticamente los espacios de configuración de ciertos sistemas mecánicos.
Dispondrás también de un fichero pdf con la presentación que te servirá de resumen de una parte del contenido del módulo.
Descargar documento: Presentacion-Modulo I-Video1.pdf
Dispondrás también de un fichero pdf con la presentación que te servirá de resumen de una parte del contenido del módulo.
Descargar documento: Presentacion-Modulo I-Video1.pdf
Vídeo presentación del Módulo 1. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este vídeo presentamos de forma resumida los contenidos que se trabajarán en este módulo.
Módulo 1: Modelando sistemas mecánicos con variedades. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
Presentaremos algunos ejemplos de sistemas mecánicos y sus correspondientes espacios de configuración. Estos espacios son ejemplos de variedades diferenciables. Introducimos esta noción y mostramos nuevos ejemplos.
Vídeo: Un poco de historia. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
Vídeo del módulo 0 donde se da una breve descripción histórica de la geometría diferencial y su relación con la Mecánica.
Descargar documento: PresentacionModulo0.pdfVídeo presentación del curso y del Módulo 0. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En este vídeo se presenta el curso y los contenidos del módulo 0.
Módulo 0: Un poco de historia. Bibliografía. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
En la primera parte de este módulo describiremos los objetivos, estructura y conocimientos previos. En la segunda parte mostraremos algunos antecedentes históricos que dieron origen a la noción de variedad diferenciable.
Alguna bibliografía que puede ayudar en el desarrollo de este curso:
Ángel Montesdeoca, Apuntes de introducción a las variedades diferenciables. Disponible en http://amontes.webs.ull.es/apuntes/geomvari.pdf
Pascual Lucas, Variedades Diferenciables y Topología, Ed. Diego Marín 1999. Disponible en http://www.um.es/docencia/plucas/
John M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Second Edition, Graduate Texts in Mathematics 218, Springer 2013.
Ralph Abraham y Jerrold Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin/Cummings Publishing Co., 1978.
Darryl Holm, Geometric Mechanics Part I, Imperial College Press 2008.
Mark Levi, Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control, An intuitive introduction. Student Mathematical Library 69, American Mathematical Society 2014.
Pascual Lucas, Variedades Diferenciables y Topología, Ed. Diego Marín 1999. Disponible en http://www.um.es/docencia/plucas/
John M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Second Edition, Graduate Texts in Mathematics 218, Springer 2013.
Ralph Abraham y Jerrold Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin/Cummings Publishing Co., 1978.
Darryl Holm, Geometric Mechanics Part I, Imperial College Press 2008.
Mark Levi, Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control, An intuitive introduction. Student Mathematical Library 69, American Mathematical Society 2014.
Rama de las Matemáticas que estudia la noción de variedad. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
La Geometría Diferencial es una rama de las Matemáticas que estudia la noción de variedad. Ésta incluye, entre otros, las curvas, las superficies y los espacios de configuración de sistemas mecánicos. Este curso introduce las bases de esta teoría, incidiendo en las ideas intuitivas, con el objetivo de obtener la descripción geométrica de las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico.
La conexión de la Geometría Diferencial con la Física es explícita desde sus orígenes, siendo a veces motivadora del desarrollo de algunas teorías geométricas o permitiendo explicar algunos fenómenos físicos. Este curso pretende despertar la curiosidad entorno a esta parte de las Matemáticas.
La conexión de la Geometría Diferencial con la Física es explícita desde sus orígenes, siendo a veces motivadora del desarrollo de algunas teorías geométricas o permitiendo explicar algunos fenómenos físicos. Este curso pretende despertar la curiosidad entorno a esta parte de las Matemáticas.
El curso está estructurado en 5 módulos (además de un módulo 0 motivador y con algunos referentes históricos) en los que se hace una introducción a los conceptos y resultados básicos de esta teoría para finalmente usarlos en la descripción geométrica de las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico. Se presentan numerosos ejemplos para ilustrar la teoría y se aportan textos teóricos en donde muchos de los resultados descritos son demostrados con detalle.
Es recomendable conocer los rudimentos del cálculo diferencial en espacios euclídeos y del álgebra lineal (espacios vectoriales, aplicaciones lineales, isomorfismos...), y también conocer los aspectos más elementales de la teoría de ecuaciones diferenciales. En el Módulo 0 se aportan lecturas recomendadas.
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